本篇教師論文發(fā)表了初中平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)題的解法，動(dòng)點(diǎn)題是近年來中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問題，解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。要解決中考中的熱點(diǎn)壓軸題——動(dòng)態(tài)幾何題，就要充分發(fā)揮空間想象的能力，不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找確定的關(guān)系式，就能找到解決問題的途徑。

　　《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)雜志》本刊堅(jiān)持為社會(huì)主義服務(wù)的方向，堅(jiān)持以馬克思列寧主義、毛澤東思想和鄧小平理論為指導(dǎo)，貫徹“百花齊放、百家爭鳴”和“古為今用、洋為中用”的方針，堅(jiān)持實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)，傳播先進(jìn)的科學(xué)文化知識(shí)，弘揚(yáng)民族優(yōu)秀科學(xué)文化，促進(jìn)國際科學(xué)文化交流，探索防災(zāi)科技教育、教學(xué)及管理諸方面的規(guī)律，活躍教學(xué)與科研的學(xué)術(shù)風(fēng)氣，為教學(xué)與科研服務(wù)。

　　初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題，是數(shù)學(xué)圖形上存在單個(gè)或多個(gè)沿某些線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征，尋求題目中某些量之間關(guān)系的問題。方法是以靜制動(dòng)，綜合圖形性質(zhì)，變量關(guān)系式來求解。

　　關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);平行四邊形;動(dòng)點(diǎn)問題

　　在近幾年各地的中考試卷中，以動(dòng)點(diǎn)問題、平面圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、剪拼問題等為代表的動(dòng)態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中，考查同學(xué)們對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。

　　數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題，是數(shù)學(xué)圖形上存在單個(gè)或多個(gè)沿某些線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征，尋求題目中某些量之間關(guān)系的問題.這類題目，已成為中考試題的一大熱點(diǎn)試題. 解這類問題一要以靜制動(dòng)，能抓住瞬間，化動(dòng)為靜，確定出圖形，把動(dòng)態(tài)問題變成靜態(tài)問題，抓住變化中不變的量，以不變應(yīng)萬變。二要按照圖形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，確定運(yùn)動(dòng)變化過程中的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系，找出一個(gè)基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個(gè)自變量關(guān)系式表達(dá)出來，然后再根據(jù)題目要求，依據(jù)幾何和代數(shù)性質(zhì)解出。下面是一組與平行四邊形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問題。

　　一、單動(dòng)點(diǎn)型

　　例1：如圖，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，過線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(不與B、D重合)分別向直線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F.

　　(1)BD的長是______;

　　(2)連接PC，當(dāng)PE+PF+PC取得最小值時(shí)，此時(shí)PB的長是______.

　　【思路分析】：(1)讀題確定題中不變的量，四邊形ABCD為菱形。即就確定了它邊的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系。連接AC，交BD與點(diǎn)O，∠ABC=60°，可知△ABC為等邊三角形，AC=AB=8，根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO長，OB=OD，AC⊥BD，根據(jù)勾股定理求出BO，即可求出BD;(2)延長FP交BC 于點(diǎn)M，F(xiàn)M⊥BC.根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得PM=PE，由菱形的面積求得FM的長度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值.當(dāng) CP⊥BD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PE+PF+PC的值最小，求出此時(shí)PB的長即可.

　　二、多動(dòng)點(diǎn)型

　　例如1：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于點(diǎn)O，若E，F(xiàn)是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C兩點(diǎn)以相同的速度向C、A運(yùn)動(dòng)，其速度為0.5cm/s。

　　(1)當(dāng)E與F不重合時(shí)，四邊形DEBF是平行四邊形嗎?說明理由;

　　(2)點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上運(yùn)動(dòng)過程中，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是否可能為矩形?如能，求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值，如不能，請說明理由。

　　【思路分析】：(1)本題中不變的量是四邊形ABCD是平行四邊形，因有AE=CF，推出OE=OF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD=OB，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可;(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF=BD=12，得出方程16-0.5t-0.5t=12，求出EF=12即可;當(dāng)E和F交換位置時(shí)得出方程EF=0.5t+0.5t-16=12，求出即可.

　　例如2：如圖所示，有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點(diǎn)移動(dòng)。

　　(1)試判斷四邊形PQEF是正方形并證明。

　　(2)PE是否總過某一定點(diǎn)，并說明理由。

　　【思路分析】：(1)已知正方形ABCD就知其各邊數(shù)量與位置關(guān)系，從而得到AP=BQ=CE=DF，PB=QC=DE=AF，及相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系。由此可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形.(2)證PE是否過定點(diǎn)時(shí)，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點(diǎn).

　　例如3：如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=■，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).

　　(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形;

　　(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等;

　　(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由;如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

　　【思路分析】：(1)條件平行四邊形ABCD的出現(xiàn)確定了不變的量AD與BC平行且垂直，而當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°，∠AOF=90°，AB⊥AC時(shí)，可得 AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形;(2)證明在旋轉(zhuǎn)過程中可得△AOF≌△COE.即可知AF與EC恒相等。(3)由結(jié)論不變的性質(zhì)進(jìn)行反推EF垂直平行BD的存在性。