摘要：欲從水平變式“過渡到”垂直變式，關鍵要把握認知負荷的問題，認知負荷太大或太小，不會從水平變式“過渡到”垂直變式，好的課程設計要使題目的難度在學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，變化題目的表面形式特征，同時控制不變的數(shù)學結(jié)構(gòu)，最終讓學生掌握“變中的不變”，培養(yǎng)“以不變應萬變”的本領。數(shù)學問題變式可分為水平變式和垂直變式，問題變式本身展示了結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。

　　關鍵詞：問題變式;結(jié)構(gòu);功能;認知

　　本文以數(shù)學問題變式為例，論述問題變式中結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。

　　近幾十年來，數(shù)學學習中，問題受到了很好的注意。但很多研究更多地關注單個問題，數(shù)學問題與數(shù)學問題之間的關系，并未加以應有的關注。事實上，學生往往不是解一道題，而是解幾道題，學生可能從題題之間不變的關系中抽象出數(shù)學意義，進而把問題分類，使題目類型化。變式教學是數(shù)學教師十分熟悉的教學思想、教學理念，這方面有很多實踐，可理論研究還很弱。為什么該教學方法有用?變式教學的合理之處是什么?本文嘗試以此為“透鏡”，通過題題之間的結(jié)構(gòu)，透視數(shù)學問題變式的功能。

　　最近，以Marton為首的歐洲學派的變式學習理論研究，逐步在香港教育界扎根并開花結(jié)果。Marton變式學習理論認為經(jīng)歷事物的方式就是學習(Marton & Booth，1997)。把“變的部分”和“不變的部分”加以區(qū)別，人們所經(jīng)歷的過程，稱為變式學習。

　　一、數(shù)學教學中的問題變式

　　變式，可以說是中國內(nèi)地“本土化”的實用教學經(jīng)驗。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學時的一個小故事談起。一位小學教師出了一道題：的是多少?當時大家都不會做。于是這位教師就說：“以后解題，凡看見××××的多少，用除法?？匆?times;×××是多少，用乘法。所以這道題用乘法。”于是我會做這類題了，卻根本不懂什么意思。后來，這位數(shù)學教師繼續(xù)上課，他用一串啟發(fā)性的由淺入深的題組(下表)，令我豁然開朗。這就是問題變式。

　　題目：的倍是多少?

　　我們一般把將源問題加以變化的這些新問題，稱為變式題。將源問題加以變化，稱為問題變式。

　　二、數(shù)學問題變式的結(jié)構(gòu)

　　(一)問題的兩重特征

　　每個數(shù)學問題可分解為表面形式特征和深層數(shù)學結(jié)構(gòu)特征。表面形式特征是指問題呈現(xiàn)的表述方式的淺層特征;數(shù)學結(jié)構(gòu)特征指涉及問題本質(zhì)的概念、關系與原則等的深層特征。

　　例如，25個學生一起去劃船。大船每條可以坐6人，租金10元;小船每條只可以坐4人，租金8元。應該怎樣租船才付最少的租金呢?要租多少條大船?多少條小船?租金又是多少呢?這個問題的表面特征是問題情境的陳述：一系列數(shù)字。這些數(shù)字，經(jīng)過調(diào)換，可以變化，但是對問題的本質(zhì)影響不大。至于這一題目的數(shù)學結(jié)構(gòu)特征則是：題目中涉及人數(shù)、大小船數(shù)、空位數(shù)和錢數(shù)共四個變量，學生需要綜合思考四個變量之間的變化依賴關系。

　　問題的表面特征和數(shù)學結(jié)構(gòu)特征彼此相異，又互相補充。數(shù)學結(jié)構(gòu)特征必須通過表面形式特征來體現(xiàn)，表面形式特征可以反映數(shù)學結(jié)構(gòu)特征。但是，數(shù)學結(jié)構(gòu)特征反映問題“質(zhì)”的方面，處于核心地位。

　　(二)問題變式的兩類結(jié)構(gòu)：水平變式和垂直變式

　　這里，我們提出一種新的分類。新問題相對源問題來說，學生能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不帶來認知負荷的變化，為水平變式;學生不能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，帶來認知負荷的變化，為垂直變式。這里我們把“問題解決過程中，記憶容量和信息加工的負荷，統(tǒng)稱為認知負荷(cognition load)。

　　這樣，可按問題結(jié)構(gòu)的變化分成不同的層次(垂直變式)，在同一結(jié)構(gòu)層次中，可以分成問題表面形式特征不同的變化(水平變式)。一般來說，題目的認知負荷要在學生可理解的范圍即最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。

　　教學的關鍵是化“難”為“易”，化“垂直變式”為學生容易理解的“水平變式”，化“大變”為學生容易區(qū)分的“小變”，化“質(zhì)變”為“量變”，這是數(shù)學教學的重要技能。

　　值得一提的是，水平變式和垂直變式的劃分是相對認知水平而言的。例如，上述問題變式對小學生而言，可能有認知負荷，那么是垂直變式，而對中學生而言，可能沒有認知負荷，是水平變式。兩類結(jié)構(gòu)的區(qū)分主要以有無認知負荷為標準。

　　水平變式是問題表面重復部分，垂直變式是問題表面變化部分，增加了認知負荷，二者圍繞數(shù)學結(jié)構(gòu)“中心軸”發(fā)展，三者(水平部分，垂直部分，數(shù)學結(jié)構(gòu)“中心軸”)形成了螺旋式發(fā)展問題空間。變式教學的精髓就是把認知負荷大的問題，分解為認知負荷小的問題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進，分解水平變式。(這即是中國數(shù)學教學的傳統(tǒng)策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點”的做法。)

　　三、數(shù)學問題變式的功能：“概念與過程”

　　數(shù)學學習往往要經(jīng)歷“過程”達成，然后轉(zhuǎn)化為“概念”(對象)的認知過程(Sfard,1991;鮑建生，等，2003)。從這個意義上，問題變式也不可避免地扮演過程的操作性和概念的結(jié)構(gòu)性兩重角色，鮑建生等(2003)把變式分為“概念性變式與過程性變式”正基于這種考慮。

　　教學上，問題變式不要無的放矢，為變而變，變式題設計總是圍繞數(shù)學概念的元素和關系，分別設計區(qū)別該元素的題組，圍繞“期望達成的概念和程序”而設計“問題變式題組”。變式問題，包含雙重目的：概念與過程，即建構(gòu)概念和技能與發(fā)展思維過程，也就是兼顧“內(nèi)容和過程”，兼顧數(shù)學知識基礎到高層次思維能力。

　　事實上，這組題目顯示了發(fā)展概念和培養(yǎng)過程的相輔相成，具有概念與過程雙重性。

　　因此，問題變式的發(fā)展，是為了概念發(fā)展的螺旋式改變而設計，通過“結(jié)構(gòu)”問題產(chǎn)生認知“功能”，達成教學“目標”。發(fā)展數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的概念和過程的關系如下圖所示。

　　四、問題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一

　　在學習者眼中，變式題包含的概念(數(shù)學結(jié)構(gòu))是源題目的重復，是再認(重復性)題目，認知的功能是“鞏固”，否則，垂直變式不能區(qū)分題目包含的數(shù)學概念和關系(數(shù)學結(jié)構(gòu))，即增加了新的認知元素，必須區(qū)分題目的認知負荷。在學習者眼中，是發(fā)展性題目，認知的功能扮演“發(fā)展”的角色。問題變式本身展示了結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。我們以一個例子加以說明。

　　問題變式的核心是數(shù)學結(jié)構(gòu)的學習。它逐步增加認知負荷，逐步驅(qū)動高層的數(shù)學思維，逐步由表層類比(數(shù)字和字母的變化)向結(jié)構(gòu)類比(因式分解的一般規(guī)則)轉(zhuǎn)化。它增加了深層策略，把原來的程序知識轉(zhuǎn)化為策略知識，由表層學習向結(jié)構(gòu)學習轉(zhuǎn)化，逐步增加輸出深層結(jié)構(gòu)的學習結(jié)果，逐步增加對數(shù)學本質(zhì)的深層體會，逐步增加對深層數(shù)學價值的體會，使數(shù)學學習由起點(例題)到終點(垂直變式題)深層經(jīng)歷。

　　五、問題變式的問題解決過程理論小結(jié)

　　綜上所述，變式本身是對問題結(jié)構(gòu)的學習。水平變式題建立覆蓋所有正例并排除所有反例的一般描述的數(shù)學結(jié)構(gòu)，垂直變式是條件認知的較深層次的加工，它抽取問題表面特征以外的結(jié)構(gòu)特征，不會受阻于問題的表面特征，構(gòu)成題目的“結(jié)構(gòu)骨架”。學習者由水平變式題到垂直變式題的解答，建立題目的數(shù)學結(jié)構(gòu)，逐步由表層區(qū)分過渡到結(jié)構(gòu)區(qū)分。水平變式是垂直變式的基礎，垂直變式是水平變式的必然發(fā)展，二者互相依存，互為補充。

　　在不斷“區(qū)分”中，學習數(shù)學的“思維”，促進“表層學習向深層學習”方式的培養(yǎng)。課程論和方法論是不可分割的一個整體，從“結(jié)構(gòu)”到“建構(gòu)”，形成整體“結(jié)構(gòu)”，才會產(chǎn)生整體“功能”。當然，變式的“度”至關重要，變的“度”太小，成了題海戰(zhàn)術，變的“度”太大，又跳到另一個極端，學生不能掌控，產(chǎn)生失敗感，同樣不能產(chǎn)生高層次思維，不能產(chǎn)生認知“功能”。