摘要 基于環(huán)路傳播延時(shí)對(duì)外差式光鎖相環(huán)穩(wěn)定性和環(huán)路相位誤差的影響，以奈奎斯特判斷準(zhǔn)則為依據(jù)，以環(huán)路相位裕度為度量，研究了延時(shí)與環(huán)路中主要參數(shù)的關(guān)系。首先通過環(huán)路數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出環(huán)路相位裕度。以常用一階無源低通濾波器和一階有源低通濾波器為代表，研究了延時(shí)與環(huán)路中自然頻率、阻尼因子、環(huán)路穩(wěn)定性和相位誤差的關(guān)系。結(jié)果表明，實(shí)際應(yīng)用中，在保證環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差的情況下，相位裕度應(yīng)控制在45°～ 60°之間，當(dāng)阻尼因子為1時(shí)環(huán)路自然頻率與延時(shí)乘積應(yīng)處于0.138～0.266之間。同時(shí)計(jì)算出此時(shí)系統(tǒng)若處于最佳跟蹤性能范圍，環(huán)路延時(shí)應(yīng)控制在0～1 ns內(nèi)。

　　關(guān) 鍵 詞 外差式光鎖相環(huán);延時(shí);相位裕度;阻尼因子;自然頻率

　　0 引言

　　隨著人們對(duì)大容量、遠(yuǎn)距離、高性能的通信需求，相干光通信已成為21世紀(jì)最主要的通信方式。然而相干光通信中光載波頻率穩(wěn)定性與接收機(jī)解調(diào)光載波相干性已成為影響相干光通信質(zhì)量的制約因素。外差式光鎖相環(huán)(Heterodyne Optical Phase Lock Loop，HOPLL)因能主動(dòng)抑制光載波相位噪聲、合成高相干光等優(yōu)點(diǎn)，已成為相干光通信重要技術(shù)[1-2]。目前，HOPLL已應(yīng)用于毫米波和太赫茲光信號(hào)合成、高分辨率光譜測(cè)量、微波光子學(xué)、光纖陀螺等領(lǐng)域[3-6]。2017年，Shams等[7]第一次通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證HOPLL與光學(xué)頻率梳發(fā)生器(Optical Frequency Comb Generator，OFCG)結(jié)合，合成具有高穩(wěn)定性、低相位噪聲的可調(diào)諧太赫茲光載波;2018年，Balakier等[8]首次通過光子集成電路(Photonic Integrated Circuit，PIC)實(shí)現(xiàn)HOPLL對(duì)光學(xué)頻率梳中頻線選擇，篩選出具有高相干性光載波——光載波在5 kHz頻率處相位噪聲僅為-100 dBc/Hz;2018年，Katarzyna等[9]通過集成HOPLL和多段可調(diào)諧分布式布拉格反射激光器(DBR)電路實(shí)現(xiàn)DBR與參考光信號(hào)相位鎖定，在1 THz調(diào)諧范圍內(nèi)合成高純度毫米和太赫茲光載波——光載波在10 kHz頻率偏移處相位噪聲為-96 dBc/Hz等等。因此，設(shè)計(jì)高性能HOPLL環(huán)路對(duì)相干光通信系統(tǒng)具有重要意義。

　　HOPLL環(huán)路是一個(gè)具有慣性環(huán)節(jié)的線性系統(tǒng)[10]。因受環(huán)路負(fù)反饋控制，環(huán)路延時(shí)影響著環(huán)路輸出相位和幅度。過大的延時(shí)不僅降低環(huán)路相對(duì)穩(wěn)定性而且會(huì)增大環(huán)路相位誤差。因此實(shí)際使用中，為增強(qiáng)環(huán)路穩(wěn)定性和減小相位誤差，通常選擇降低環(huán)路自然頻率。但降低環(huán)路自然頻率會(huì)引發(fā)一系列級(jí)聯(lián)效應(yīng)，如環(huán)路捕獲范圍變窄、捕獲時(shí)間增大、環(huán)路跟蹤性能降低、相位誤差變大等現(xiàn)象。因此，研究延時(shí)與環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差之間關(guān)系很重要。相位裕度作為衡量環(huán)路相對(duì)穩(wěn)定性的指標(biāo)，應(yīng)控制在合理范圍內(nèi)。過大的相位裕度引起系統(tǒng)響應(yīng)變慢，過小的相位裕度易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此環(huán)路相位裕度應(yīng)設(shè)置為45°～ 60°之間。本文以奈奎斯特判斷準(zhǔn)則為依據(jù)，以相位裕度為度量，通過控制變量法分析HOPLL環(huán)路相對(duì)穩(wěn)定性以及相位誤差，并且對(duì)環(huán)路延時(shí)、自然頻率、阻尼因子、穩(wěn)定性之間關(guān)系進(jìn)行具體推導(dǎo)，推導(dǎo)結(jié)果對(duì)設(shè)計(jì)高性能HOPLL具有重要意義。

　　1 外差式光鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)

　　圖1a)為典型外差式光鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖[11]。環(huán)路結(jié)構(gòu)包括兩臺(tái)激光器，2×1光耦合器、光電探測(cè)器(PD)、射頻放大器(SOA)、鑒頻鑒相器(PFD)、低通濾波器(LPF)，環(huán)路延時(shí)環(huán)節(jié)(τ)。圖中一臺(tái)激光器作為主激光器，其頻率穩(wěn)定度高，線寬窄，相位噪聲小;另一臺(tái)激光器作為從激光器(又稱被鎖激光器)，從激光器線寬比較寬，相位噪聲大、可調(diào)諧。

　　基于奈奎斯特判斷準(zhǔn)則，可以通過環(huán)路相位裕度衡量環(huán)路相對(duì)穩(wěn)定性能力[16]。相位裕度，即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，環(huán)路所能受到相位擾動(dòng)的大小。由開環(huán)傳遞函數(shù)[Hs]，計(jì)算環(huán)路相位裕度，如式(4)所示：

　　相位裕度φ大小可以表示環(huán)路相對(duì)穩(wěn)定能力的大小。當(dāng)相位裕度為正時(shí)，環(huán)路呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)相位裕度為負(fù)時(shí)，環(huán)路進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。由式(3)可知，環(huán)路相位裕度與環(huán)路中低通濾波器傳遞函數(shù)[Gs]密切相關(guān)。HOPLL常用環(huán)路濾波器有2種結(jié)構(gòu)：無源低通濾波器和有源低通濾波器。

　　2.1 一階無源低通濾波器

　　無源低通濾波器，環(huán)路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且由無源器件搭建，因此環(huán)路噪聲較小。根據(jù)梅森定理[17]，由低通濾波器產(chǎn)生的噪聲對(duì)從激光器影響較小。但無源低通濾波器增益較低，因此對(duì)環(huán)路整體增益有限。高階低通濾波器的實(shí)現(xiàn)通常伴隨更多環(huán)路極點(diǎn)的引入，嚴(yán)重影響環(huán)路相位域的頻率穩(wěn)定性。因此本文選擇一階無源低通濾波器作為環(huán)路分析模型。一階無源低通濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

　　2.2 一階有源低通濾波器

　　有源低通濾波結(jié)構(gòu)具有較大環(huán)路增益，因此對(duì)低頻信號(hào)具有放大作用從而達(dá)到更佳濾波效果。但同時(shí)運(yùn)放內(nèi)部噪聲隨環(huán)路疊加從而影響環(huán)路鎖定時(shí)相位誤差。若運(yùn)放噪聲偏大，則嚴(yán)重影響到環(huán)路鎖定。高階有源低通濾波器隨著極點(diǎn)的增加同樣影響環(huán)路頻率穩(wěn)定性。因此本文選擇一階有源低通濾波器作為分析模型。一階有源低通濾波器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

　　3 結(jié)果與分析

　　3.1 一階有源低通濾波器穩(wěn)定性分析

　　為了研究環(huán)路自然頻率[ωn]和環(huán)路阻尼因子?之間關(guān)系，首先保證環(huán)路穩(wěn)定性，設(shè)環(huán)路相位裕度分別為45°和60°。如圖4所示。由上及下4條曲線依次表示環(huán)路延時(shí)為0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns，圖中縱坐標(biāo)表示環(huán)路自然頻率log10 ωn。

　　由圖4a)和圖4b)可知，在相同環(huán)路延時(shí)條件ιd下，環(huán)路自然頻率[ωn]并不是環(huán)路阻尼因子?的單調(diào)函數(shù)，而是隨著阻尼因子?增大，環(huán)路自然頻率[ωn]先增大，然后減小。在不同延時(shí)條件下，同樣存在最佳阻尼因子使得自然頻率最大。因此，通過選擇最佳阻尼因子有利于環(huán)路動(dòng)態(tài)跟蹤性能。在相同阻尼因子和相位裕度下，環(huán)路延時(shí)越小，環(huán)路自然頻率越大，因此減小環(huán)路延時(shí)有助于提升環(huán)路跟蹤性能。對(duì)比圖4a)和圖4b)，最佳阻尼因子隨著相位裕度增大而變大，因此環(huán)路穩(wěn)定性隨著阻尼因子變大而增強(qiáng)。

　　由上可知，環(huán)路中存在最佳阻尼因子使環(huán)路自然頻率最大。研究時(shí)延與自然頻率之間關(guān)系，設(shè)環(huán)路阻尼因子為? = 1，如圖5所示。圖5中由上及下3條曲線分別表示相位裕度為0°，45°，60°這3種情況。相位裕度為0°表示環(huán)路相對(duì)穩(wěn)定臨界值。其中縱坐標(biāo)表示環(huán)路自然頻率lgωn。

　　由圖5可以發(fā)現(xiàn)，在相位裕度相同時(shí)，環(huán)路延時(shí)越大，自然頻率越小。但環(huán)路延時(shí)在0～1 ns之間，自然頻率變化幅度較大，隨后變化幅度相對(duì)緩慢。因此，在環(huán)路穩(wěn)定前提下，為增大環(huán)路捕獲帶寬和跟蹤性能，環(huán)路最佳延時(shí)應(yīng)控制在1 ns內(nèi)。在環(huán)路延時(shí)相同時(shí)，隨著相位裕度增大，環(huán)路自然頻率相應(yīng)減小。因此，增大環(huán)路穩(wěn)定性時(shí)，環(huán)路捕獲范圍和跟蹤性能變差。

　　設(shè)計(jì)HOPLL，環(huán)路穩(wěn)定性和相位誤差均影響環(huán)路性能。由文獻(xiàn)[20]可知影響環(huán)路相位誤差因素主要包括激光器內(nèi)部相位噪聲、環(huán)路白噪聲和探測(cè)器散粒噪聲。其中激光器相位噪聲和探測(cè)器散粒噪聲與環(huán)路自然頻率與延時(shí)乘積有關(guān)，即ωnτd。因此有必要研究ωnτd與相位裕度之間關(guān)系。設(shè)阻尼因子? = 1，由式(8)計(jì)算兩者之間關(guān)系。如圖6所示，圖中相位裕度單位為rad，橫坐標(biāo)k = ωnιd。

　　由圖6發(fā)現(xiàn)隨著環(huán)路k增大，相位裕度線性減小因此環(huán)路穩(wěn)定性降低。當(dāng)k = 0.647時(shí)，環(huán)路相位裕度為0，處于臨界穩(wěn)定范圍。因此若使相位裕度處于45°～60°之間，k應(yīng)處于0.138～0.266之間。同時(shí)，由文獻(xiàn)[21]計(jì)算此時(shí)環(huán)路相位標(biāo)準(zhǔn)方差小于10°。

　　為更直觀表示自然頻率、延時(shí)與相位裕度之間關(guān)系。設(shè)? = 1，如圖7所示。圖中縱坐標(biāo)為相位裕度，橫坐標(biāo)分別為環(huán)路延時(shí)與自然頻率。當(dāng)縱坐標(biāo)相位裕度為負(fù)值時(shí)，環(huán)路處于不穩(wěn)定狀態(tài)，無法正常工作。因此為保證HOPLL具有較高穩(wěn)定性，應(yīng)設(shè)計(jì)合理環(huán)路時(shí)延與自然頻率。

　　3.2 一階無源低通濾波器穩(wěn)定性分析

　　通過控制變量法分析一階無源低通濾波器環(huán)路穩(wěn)定性。設(shè)環(huán)路相位裕度為45°和60°，結(jié)合式(6)，計(jì)算出阻尼因子與自然頻率關(guān)系，如圖8所示。圖8a)表示環(huán)路相位裕度為45°，圖8b)表示環(huán)路相位裕度為60°。由上到下四條曲線分別表示延時(shí)0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns?？v坐標(biāo)表示自然頻率lg ωn，

　　由圖8a)、b)發(fā)現(xiàn)當(dāng)環(huán)路延時(shí)相同時(shí)，自然頻率隨阻尼因子變大而增大。因此，環(huán)路跟蹤性能隨阻尼因子變大而增強(qiáng)。但環(huán)路跟蹤性能增強(qiáng)時(shí)，自然頻率與延時(shí)乘積增大，因此環(huán)路相位誤差增大，故環(huán)路動(dòng)態(tài)跟蹤性能與相位誤差之間存在矛盾。當(dāng)阻尼因子相同時(shí)，自然頻率隨著環(huán)路延時(shí)變小而增大。因此可以通過減小環(huán)路延時(shí)增強(qiáng)環(huán)路動(dòng)態(tài)跟蹤性能。

　　為研究環(huán)路延時(shí)與自然頻率關(guān)系，設(shè)阻尼因子為1，以相位裕度60°為參考。如圖9所示，圖中縱坐標(biāo)表示自然頻率lgωn。

　　由圖9發(fā)現(xiàn)環(huán)路自然頻率隨延時(shí)增加而減小。當(dāng)延時(shí)處于0～1 ns之間，自然頻率衰減幅度較大，大約衰減一個(gè)數(shù)量級(jí)。因此過大延時(shí)導(dǎo)致環(huán)路動(dòng)態(tài)性能急劇變差。為保證系統(tǒng)具有最佳捕獲性能，理想環(huán)路延時(shí)應(yīng)控制在1 ns內(nèi)。

　　為更直觀表示一階無源低通濾波器環(huán)路延時(shí)、自然頻率和相位裕度關(guān)系，如圖10所示。圖10中阻尼因子為1，縱坐標(biāo)表示環(huán)路相位裕度、橫坐標(biāo)表示延時(shí)和自然頻率。

　　當(dāng)環(huán)路相位裕度為正時(shí)，環(huán)路處于穩(wěn)定狀態(tài)。由式(6)與圖10分析，若延時(shí)與自然頻率設(shè)置不合理，環(huán)路容易脫鎖從而影響系統(tǒng)正常工作。對(duì)比圖7和圖10，發(fā)現(xiàn)一階無源低通濾波器在相同延時(shí)與自然頻率下，環(huán)路相位裕度優(yōu)于一階有源低通濾波器相位裕度。但實(shí)際情況中，為增大環(huán)路增益在相位噪聲允許情況下，選擇有源低通濾波器作為環(huán)路濾波結(jié)構(gòu)。

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